把一个整数X展开成如下形式
X=a【n】*n!+a【n-1】*(n-1)!+...+a【2】*2!+a【1】*1!
其中,a为整数,并且0<=a<i,i=1,2,..,n
这就是康托展开。
康托展开就是一个全排列到一个整数的双射,就是一种特殊的哈希函数,经常用来做可以用全排列表示状态的搜索的哈希函数(8数码,魔板等问题)。
康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。 这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
A B C | 0A C B | 1B A C | 2B C A | 3C A B | 4C B A | 5通过康托逆展开生成全排列 如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢? 因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 202*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 201*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 200*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 200*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回 s 的第 m 个排列。
模版:
int cantor[]={ 1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800}; //=n!//康托展开,求数列是第几大数(复杂度O(size^2))//参数puzz[]为待展开之的集合的各元素,如需展开2134,则puzz[4]={2,1,3,4}.这里puzz也可以是string,char[]...etcint Cantor(int puzz[],int psize) //psize puzz集合的大小{ int ct = 0; for(int i = 0; i < psize-1; i++){ int tmp = 0; for(int j = i + 1; j < psize; j++){ if( puzz[j] < puzz[i]) tmp++; } ct += tmp * cantor[psize-i-1]; } return ct;}